[3] 구조역학 6. 부정정 구조물의 해석(매트릭스변위법)

#매트릭스변위법

​

각 자유도에 절점평형 방정식을 세우고, 평형매트릭스 A를 이용

​

역행렬을 산정하는 과정이 필요하므로, 복잡한 구조물일 경우 계산이 힘듦.

​

개요

​

절점과 자유도

절점 : 평형방정식이 수립되고 변위가 구해지는 점

자유도 : 그 절점에서 발생가능한 변위의 수

(그림)

​

부재력

(그림) 축하중을 받을 시 + 전단력, 모멘트를 받을 시

​

​

​

​

1. 부재유연도 작성

​

​

(1) 적합조건 : [e] = [A]T x [d] e = displacement or deflection

A = 방향성에 대한 매트릭스

​

​

(2) 탄성조건 : [Q] = [S] x [e] → [Q] = [S] x [A]T x [d] [S] = 부재별 강성매트릭스

- 축력일 시

​

 

- 모멘트일 시

처짐각 방정식에 의해​

 

​

 

 

(3) 평형조건 : [P] = [A] x [Q] → [P] = [A]x[S]x[A]T x [d]

[d] = [K]-1 x [P] ∵ [K] = [A] x [S] x [A]T : 구조물 강성매트릭스

​

​

​

부재 내부에 하중 [qFEM] 있을 시 -> 절점하중으로 치환

[Po] = [A] x [Q]

[P] = [Po] - [A] x [qFEM]

[Q] = [S] x [A]T x [d] + [qFEM]

 

​

​

지점 침하[qΔ]가 있을 경우

[P*] = [P] - [A] x [qΔ]

[Q] = [S] x [A]T x [d] + [qFEM]+[qΔ]

 

 

​

​

​

​

반력 구하기

​

​

​

​

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

<풀이방법>

​

​

1. 자유물체도 (부재력, 자유도)

​

​

​

2. 절점평형방정식 산정, A x Q = P

자유도 움직임 갯수만큼의 식 산정

자유도 1 : ΣH@A = 0; 자유도 1 식 : A11 · Q1 + A12 · Q2 +A13 · Q3 +A14 · Q4 + · · = P1

자유도 2 : : A21 · Q1 + A22 · Q2 +A23 · Q3 +A24 · Q4 + · · = P1

자유도 3 : : A31 · Q1 + A32 · Q2 +A33 · Q3 +A34 · Q4 + · · = P1

: :

​

 

3. 절점평형방정식을 매트릭스로 변환, A x Q = P

​

 

[Po] = [A] x [Q]

​

부재내 하중이 있을 경우 (qFEM)

[P] = [Po] - [A] x [qFEM]

 

 

지점 침하가 있을 경우 (qΔ)

[P*] = [Po]- [A] x [qFEM] - [A] x [qΔ]

​

 

4. 전부재 강성 매트릭스, S

 

[Q] 가 n행 이면, [S] 은 n x n 행열

​

​

5. 구조물 강성 매트릭스, [K] = [A] x [S] x [A]T

​

6. 격점 변위 매트릭스, [d] = [K]-1 x [P]

​

7. 부재력 산정 [Q] = [S] x [A]T x [d]

or

[Q] = [S] x [A]T x [d] + [qFEM] + [qΔ]

 

왜 qFEM을 d 구할 때 빼놨다가 Q구할 때 다시 넣는 건지 이해 못함....

- 아 처음 절점 방정식 구할 때 넣으면 부재내 하중이 - 값으로 들어가는 구먼

​

​

8. 각 절점 평형 식으로 각 절점에서의 반력 산정 후 S.F.D & B.M.D 작성

​

예)