[3] 구조역학 4. 부정정 구조물의 해석 (에너지법)

 

#에너지법

에너지 법으로 정정구조물 및 부정정구조물의 해석을 할 수 있다.

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1) 정의

 

 (1) 카스틸리아노제1의 정리

  ① 제1정리–구조물의 어떤 점에 힘이나 모멘트가 작용했을 때, 그 작용점에서 이들로 인한 처짐이나 회전각은 변형에너지를 작용하는 힘이나 모멘트로 편미분한 것과 같다.   (출처: 대한건축학회 건축용어사전)

 

 

 (2) 카스틸리아노제2의 정리 (최소일의 법칙)

 ② 제2 정리–구조물에 생기는 반력은 구조물의 변형 에너지가 최소가 되도록 한다. ③ 즉 지점 반력은 변형에너지를 그 지점 반력으로 편미분할 때 0이다. ④ 최소일원리라고도 한다.     (출처: 대한건축학회 건축용어사전)

 

 

 ③ 고려사항

   - 3차부정정이하일 때 사용하면 조으당

 

 

 

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2) 풀이방법

 

(1) 자유물체도로 부정정력 선정

   m+f+r-2j = n차 부정정

   n개의 부정정 선정

   Mx, Vx, Hx , Nx

 

  가능한 부정정력 = 반력 (MA, VA, HA)

                          = 내력(N1, N2, M1)

                          = 변위(Po, Mo) 해당 힘은 dU/dPo | Po=0 을 이용해 변위를 구함.

 

(2) 구하고자하는 변위 위치에 가상의 힘 적용

   δ를 구하기위해 그 지점에 Po 적용

   θ를 구하기 위해 그 지점에 Mo 적용

 

(3) 반력 선정

  최대한 반력을 사용하지 않게 부재력식 산정 하기 ( = 반력을 부재력으로 둠)

  반력은 부정정력을 동반함 : 예) MA = Po x L/2,  VA= Po/2

 

 

 

(4) 구간별 부재력식 산정 (f(x) 식 )

  n절점에서 ΣH=0, N1 = Nx · cosθ· + HA· · ·

  ΣV=0, N2 = sinθ·Nx + Vx· · ·

  n+1절점에서 ΣH=0, N3 = Vx · cosθ · · ·

  .

  .

  .

  M1 = VA ·x · · ·

  M2 = VA ·(L+x) · · · · · ·

  M3 = · · ·

  .

  .

  .

 

(5) 에너지식 산정

  Total Energy Combined

 

- Ustatic : Static Energy

 

 

 

- Ud : Displacement Energy (침하, 회전, 축변형)

 

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- Us : Spring Energy

​

 

 

(6) 부정정력 산정 (카스틸리아노 제2정리)

  - 변위가 0이 되는 경계조건을 해야함.

​

 

표시를 편미분으로 해야합니다.  d 는 전미분의 표시입니다. 쨔샤

 

 

(7) 부재력 산정

 

  부재력식에 부정정력 값 대입

 

  N1 = 식 | Mx=값 and Vx= 값 and Hx = 값

  .

  .

  .

  M1 = 식 | Ma=값 and Va= 값 and Ha = 값

.

  .

  .

 

(8) 원하는 위치에서의 변위 산정

 

 

 

 

표시를 편미분으로 해야함

 

 

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​3) 예제문제

 

 

 (1) 트러스 예시

 

1차부정정 : 하나의 부재력 Q를 부정적력으로 간주하고 풀이

 

1차부정정 : 하나의 반력 R 를 부정적력으로 간주하고 풀이

 

 (2) 보 예시

2차부정정 : 반력 RA, RB 를 부정적력으로 간주하고 풀이

 

 

 

1차부정정 : 반력 VB 를 부정적력으로 간주하고 풀이

 

 (3) 라멘 예시

 

3차부정정 : 세개의 반력 V, H, M 를 부정적력으로 간주하고 풀이

 

 

 

 

 

 (4) 복합 예시

2차부정정 : 세개의 반력 Vc, Hc 를 부정적력으로 간주하고 풀이

 

3차부정정 : 2개의 부정정력으로 풀이 가능 , VC 및 VB를 부정적력으로 간주하고 풀이